מכפלת חזקות של 2אינדוקציה 571 · שיעור 7

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 7: מכפלת חזקות של 2

פרק 2 – הוכחת נוסחה למכפלה

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

2¹ · 2² · 2³ · … · 2ⁿ = 2^{n(n + 1)2}

הוכחה באינדוקציה

2¹ · 2² · 2³ · … · 2ⁿ = 2^{n(n + 1)2}

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: גורם אחד, 2¹ = 2.

אגף ימין:

2^{1 · 22} = 2¹ = 2 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

2¹ · 2² · … · 2^k = 2^{k(k + 1)2}

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

2¹ · 2² · 2³ · … · 2ⁿ = 2^{n(n + 1)2}

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צ״ל: 2¹ · … · 2^k · 2^{k + 1} = 2^{(k + 1)(k + 2)2}

נציב במקום 2¹ · … · 2^k את 2^{k(k + 1)2}:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: 2^{k(k + 1)2} · 2^{k + 1} = 2^{(k + 1)(k + 2)2}

כפל חזקות עם אותו בסיס – מחברים מעריכים:

📐 חוקי חזקות

2^{k(k + 1)2} · 2^{k + 1} = 2^{k(k + 1)2 + (k + 1)}

📐 הנחת האינדוקציה

2¹ · … · 2^k = 2^{k(k + 1)2}

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

הוכחה באינדוקציה · המשך

2¹ · 2² · 2³ · … · 2ⁿ = 2^{n(n + 1)2}

2^{k(k + 1)2} · 2^{k + 1} = 2^{k(k + 1)2 + (k + 1)}

נסדר את המעריך. בשני המחוברים יש (k + 1). נוציא אותו כגורם משותף:

📐 הוצאת גורם משותף

k(k + 1)2 + (k + 1) = (k + 1) · [k2 + 1]

בתוך הסוגריים נעשה מכנה משותף 2:

📐 מכנה משותף

= (k + 1) · [k2 + 22]

= (k + 1) · k + 22 = (k + 1)(k + 2)2

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

📐 מכנה משותף

a2 + 1 = a2 + 22 = a + 22

הוכחה באינדוקציה · המשך

2¹ · 2² · 2³ · … · 2ⁿ = 2^{n(n + 1)2}

= (k + 1) · k + 22 = (k + 1)(k + 2)2

לכן:

2^{k(k + 1)2} · 2^{k + 1} = 2^{(k + 1)(k + 2)2} ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא